Жаль. Хотелось бы дать возможность другим получить решение. Задача действительно забавная.

Итак, неравенство между ср. ар. и ср. геом. для трех чисел:

Для любых неотр. чисел a, b и c

(*) (a+b+c)/3>=(корень кубический из a*b*c)
причем
(**) РАВЕНСТВО ДОСТИГАЕТСЯ ТОЛЬКО ПРИ a=b=c.

Применяя (*) к числам x^3,y^3,z^3 получим, что при любых положительных (а других по ОДЗ быть и не может) x,y,z
(***) левая часть >= (корень кубический из x*y*z)

Применяя (*) к числам 1/x,1/y,1/z (но учитывая, что там стоит ОБРАТНАЯ величина для ср. ар., поэтому для обратных величин знак неравенства в (*) поменяется), получим, что при любых положительных x,y,z:
(****) правая часть <= (корень кубический из x*y*z)

Из (***) и (****) следует (в силу первого уравнения системы), что в этих неравенствах для решения системы достигаются равенства.
Отсюда из (**) следует: x=y=z.

Дальше просто.