1) Сначала решаем однородное уравнение
x * y' + y = 0
x * dy/dx + y = 0
x * dy/dx = -y
dy/y = -dx/x
Проинтегрируем
int dy/y = -int dx/x
ln |y| = -ln |x| + C
y = C/x.
2) Решаем неоднородное уравнение: x * y' + y = y^2, где y = C(x)/x.
Тогда y' = (C'(x) * x - C(x))/x^2. Подставляем полученное в уравнение.
x * (C'(x) * x - C(x))/x^2 + C(x)/x = C^2(x)/x^2
C'(x) - C(x)/x + C(x)/x = C^2(x)/x^2
C'(x) = C^2(x)/x^2
dC(x)/dx = C^2(x)/x^2
dC(x)/C^2(x) = dx/x^2
int dC(x)/C^2(x) = int dx/x^2
-1/C(x) = -1/x - C
1/C(x) = 1/x + C
Тогда
C(x) = 1/(1/x + C) = 1/(1/x * (1 + Cx)) = x/(1 + Cx)
Так как y = C(x)/x, то y = 1/(1 + Cx).
По условию y(1) = 1/2 => 1/2 = 1/(1 + C * 1) => 1/2 = 1/(1 + C) => 1 + C = 2 => C = 1

Ответ: y = 1/(1 + x).