Докажем, что этот ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой. Рассмотрим ряд, составленный из модулей, и докажем его сходимость при любом х. Пользуясь нечетностью тангенса, получим:

(0) Summ (n от 1 до +00) |tg(x^n/n!)| = Summ (n от 1 до +00) tg(|x|^n/n!)

Рассмотрим вспомогательный ряд

(1) Summ (n от 1 до +00) |x|^n/n!
Легко (по признаку Даламбера) доказать, что он сходится для любого х. Осюда, в частности, следует, что предел общего члена ряда есть 0:

(2) lim [|x|^n/n!] = 0

Поскольку tg(a)~a (эквивалентные беск. малые при a --> 0), то из (2) следует, что

(3) lim [tg(|x|^n/n!)] /(|x|^n/n!) = 1

Теперь по теореме сравнения рядов (в предельной форме) можно сравнить ряд (0) с рядом (1).
Равенство (3) теперь показыват, что ряд (0) ведет себя также, как и ряд (1) (в смысле сходимости-расходимости). Поэтому ряд (0) сходится для всех чисел х.