1. В принципе, проще найти площадь треугольника АВС по формуле Герона. S (АВС)=84 (если считать стороны 13,14,15).
Высота ВН=12.
Сами углы искать вряд ли надо.
Решайте с косинусами, синусами или тангенсами этих углов.

или другая идея (решение короче и проще)

найдите длину биссектрисы по формуле

(l ( с ))^2=ab(a+b+c)(a+b-c)/(a+b )^2
l ( с ) - биссектриса на сторону с
a,b,c - стороны треугольника
а потом катет НМ треугольника ВНМ.

2. Вы правильно думаете о том, что принять за расстояние "от точки пересеч. его диагоналей до стороны ".
Например, (1/2)*d1 (диагональ, выходящая из острого угла) = m/sin(n/2)