Смотрел примеры на http://reshebnik.ru/solutions/6/3
Почему справедливо неравенство и по каким признаком пришли к такому выводу? Может есть какие-нибудь общие признаки для сравнения?

Есть. Предельный признак сравнения рядов.

тьфу, не так выразился.
Я имел ввиду признаки из за которых пришли к выводу, что первый ряд больше либо равен второму.

Это очевидно, если знать, что arctg(x) при x -> 00 стремится к pi/2 и sqrt(n^2-n)<n для n>1.