Меня учили, что в матрице работают только со строками. Итак, получается матрица
1 5 3
0 14 5
0 -7 -5
Теперь снова меняем местами, только уже третью и вторую строки, получаем матрицу
1 5 3
0 -7 -5
0 14 5
Как нам сделать элемент а32=14 нулевым? Для этого вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к третьей.
1 5 3
0 -7 -5
0 0 -5
Получили ступенчатый вид, кол-во не нулевых строк = рангу. (Строка назыв. нулевой, если все ее элементы =0, и ненулевой, если хотя бы один элемент не = нулю). У нас получилось три ненулевых строки. Таким образом, ранг матрицы =3.