int е^х * ln (1 + 3 * е^х) dx
У меня получилось: е^х = v, а ln (1 + 3 * е^х) = u
тогда du = d(ln (1 + 3 * е^х)) = 3 * e^x/(1 + 3 * e^x) dx
int e^x * ln (1 + 3 * е^х) dx = int ln (1 + 3 * е^х) d(e^x) =
= е^х * ln (1 + 3 * е^х) - int е^х * 3 * e^x/(1 + 3 * e^x) dx =
= е^х * ln (1 + 3 * е^х) - 3 * int е^(2 *x)/(1 + 3 * е^х) dx
А как дальше я не знаю и вообще правильно ли это? Подскажите пожалуйста. Заранее спасибо.

int е^х * ln (1 + 3 * е^х) dx = int ln (1 + 3 * e^x) d(e^x) = | t = e^x | =
= int ln (1 + 3 * t) dt = t * ln (1 + 3 * t) - int t d(ln (1 + 3 * t)) =
= t * ln (1 + 3 * t) - int t * 3/(1 + 3 * t) dt =
= t * ln (1 + 3 * t) - int (3 * t + 1 - 1)/(1 + 3 * t) dt =
= t * ln (1 + 3 * t) - int dt + int dt/(1 + 3 * t) =
= t * ln (1 + 3 * t) - t + 1/3 * int dt/(t + 1/3) =
= t * ln (1 + 3 * t) - t + 1/3 * ln |t + 1/3| + C = | t = e^x | =
= e^x * ln (1 + 3 * e^x) - e^x + 1/3 * ln |e^x + 1/3| + C =
= e^x * ln (1 + 3 * e^x) - e^x + 1/3 * ln (1+ 3 * e^x) + C =
= (e^x + 1/3) * ln (1 + 3 * e^x) - e^x + C

int sin^3 (3x) * cos^6 (3x) dx
Получается подстановка cos x = t, т.к 3 - целое полож. нечет.число, но как избавиться от степени 6???

int sin^3 (3x) * cos^6 (3x) dx = int sin^2 (3x) * cos^6 (3x) * sin (3x) dx =
= int (1 - cos^2 (3x)) * cos^6 (3x) * sin (3x) dx =
= int (1 - cos^2 (3x)) * cos^6 (3x) d(-cos (3x)/3) =
= -1/3 * int (1 - cos^2 (3x)) * cos^6 (3x) d(cos (3x)) = | t = cos 3x | =
= -1/3 * int (1 - t^2) * t^6 dt = -1/3 * int (t^6 - t^8) dt =
= -1/3 * (t^7/7 - t^9/9) + C = t^9/27 - t^7/21 + C = | t = cos 3x | =
= cos^9 (3x)/27 - cos^7 (3x)/21 + C

спасибочки!!!:)))