Речь идет о линейном ДУ 2пор. с постоянными коэффициентами.
Если общее решение это сумма двух частных вида C1*e^(k1*x)+C2*e^(k2*x), то в случае комплексно сопряженных характеристических чисел k1 и k2, оно превращается в e^a*(C1*sin b*t + C2*cos b*t). Как такое получилось ?
Если разворачивать комплексную экспонентe по ф.Эйлера и требовать "действительности" решения, то получается что С1=С2, и в ответе остается только косинус
