Сначала можно равносильными преобразованиями свести систему к более простому виду.
Например, так.
Третье уравнение замените разностью первого и третьего уравнения.
Затем второе уравнение замените суммой первого и второго уравнения.

Получите систему
(m+1)*x-(m-3)^2*y=1
(m-2)(m+1)*x=m-2
z=0

Теперь отдельно рассмотрите случаи: m=2, m=-1, m=3.
Затем скопом все остальные m.