tesey
Сообщение
#7785 20.11.2007, 20:00
Вот мучаюсь с примером. Никак не могу разобраться
(x^4)*y'' - (x^3)*(y')^3 + 2*(x^2)*y*(y')^2 - (3*x*(y^2) + 2*x^3)*y' + 2*(x^2)*y + y^3 = 0
(Ответ: y = x*arcsin(C2 * x) + C1*x )
Нехитрыми преобразованиями я его свел до:
(x^4)*y'' - (x*y' - y)^3 + (x^2)(2*y - y*(y')^2 - 2*x*y') = 0
Т.к. это обобщенное однородное ДУ (k = 1) то заменой x = e^t y = z*e^t получил:
z'' - z' - (z')^3 - z*(z' + z)^2 =0
Порядок не понизился, но зато нет независимого аргумента. Использовал замену z' = p z'' = p*p'
p*p' - p - p^3 - z*(p + z)^2 = 0
Получилось вот такое страшное ДУ и я не знаю как его решать дальше. Может я гдето ошибку выше допустил или это ДУ вообще не так решается?
Помогите справится с заданием.
Dimka
Сообщение
#7786 20.11.2007, 20:43
Проверка показывает, что x*arcsin(C2 * x) + C1*x не является решением вышеприведенного уравнения. Вы ничего не напутали в условии?
tesey
Сообщение
#7789 21.11.2007, 5:46
Если в условии ошибка, то это плохо. Вот скрин с методички, вроде все как я написал.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
tesey
Сообщение
#7796 21.11.2007, 11:55
Помучал я еще немного это ДУ. Если в исходном условии вместо 2*(x^2)*y*(y')^2 взять 3*(x^2)*y*(y')^2 (т.е. вместо 2 написать 3), то выкладки меняются слледующи образом:
(x^4)*y'' - (x^3)*(y')^3 + 3*(x^2)*y*(y')^2 - (3*x*(y^2) + 2*x^3)*y' + 2*(x^2)*y + y^3 = 0
(x^4)*y'' - (x*y' - y)^3 + (x^2)(2*y - 2*x*y') = 0
Т.к. это обобщенное однородное ДУ (k = 1) то заменой x = e^t y = z*e^t получил:
z'' - z' - (z')^3 =0
z' = u
u' - u - u^3 = 0
А это уже ДУ с раздел. частями:
(du/(u+u^3)) - dt = 0 =>
u/(sqrt(1 + u^2)) = C1*e^t =>
Возвращаясь к z:
z'/(sqrt(1 + (z')^2)) = C1*e^t =>
z' = sqrt((C1^2 * e^(2*t))/(1 - C1^2 * e^(2*t)))
Прям интергрированием получим:
z = arcsin(C1*e^t) + C2
И возвращаясь к x и y:
y = x*arcsin(C2 * x) + C1*x
Получилось в точности как в в ответе. Видать в условии опечатка.
Всем спасибо! Тему можно закрывать.
Это текстовая версия — только основной контент. Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста,
нажмите сюда.