Но ведь можно легко придумать пример, когда количество линейно независимых строк и столбцов в матрице будет различаться.

Пример:
В матрице 3 линейно независимых столбца и две строки. Максимальный порядок минора = 2, теорема и определение противоречат?
1 2 3
4 5 1
7 11 10