На сумму разбивается, если границу вдоль одной из осей интегрирования на всём её протяжении нельзя записать одним выражением.
Скажем, на первом рисунке двойной интеграл по площади можно записать как (f = f(x,y) - интегрируемая функция):
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dx*int([0..x+1]f*dy)),
а можно поменять порядок интегрирования, тогда получится нечто вроде
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dy*int([0..1]f*dx)) + int([1..2]dy*int([y-1..1]f*dx))
Здесь первый интеграл - интегрирование по нижнему квадрату, а второй - по верхнему треугольнику.