Не совсем представляю, как это доказать....

А если от противного пойти?
Пусть x принадлежит ∂(A U В) , но при этом не принадлежит (∂A U ∂B), т.е. не принадлежит ∂A и не принадлежит ∂B
Это означает, что
1) x не принадлежит ∂A , тогда существует окрестность точки x либо целиком лежащая в A, либо целиком лежащая вне A
И
2) x не принадлежит ∂B , тогда существует окрестность точки x либо целиком лежащая в B, либо целиком лежащая вне B

Случаи, когда есть существует окрестность целиком лежащая в A или целиком лежащая в B сразу приводят к противоречию с тем, что x принадлежит ∂(A U В)

Остается рассмотреть случай, когда существует окрестность точки x, целиком лежащая вне A и существует окрестность, целиком лежащая вне B. Берем их пересечение и получаем окрестность целиком лежащую вне A U B.