x принадлежит границе (A U B ) -- это значит, что в любой окрестности этой точки есть хотя бы одна точка x1 из A U B и хотя бы одна точка x2 не из A U B (т.е. x2 не принадлежит ни A, ни B )
x1 принадлежит A U B - это значит, что x1 принадлежит либо A, либо B, либо A и B одновременно

1) Пусть x1 принадлежит A, тогда x принадлежит границе A по определению границы
(мы взяли произвольную окрестность точки x и в ней нашлась точка x1 из А и точка x2 не из A)
2) Пусть x1 принадлежит B, тогда x аналогично принадлежит границе B по определению границы

Т.е. получается, что точка x принадлежит объединению границ A и B

По-моему, так...