Всем здравствуйте! Учусь в 11 классе, на дом дали контрольную работу.
Помогите, пожалуйста, решить следующий пример:
найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 + 6 * x + 9 и
графиком ее первообразной, проведенным через А(-4;1).
Заранее благодарю!

y1 = x^2 + 6x + 9, A(-4;1).
Решение:
Первообразной к x^2 + 6x + 9 будет 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + C.
Значит y2 = 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + C
Так как точка A(-4;1) принадлежит y2, находим С:
1 = 1/3 * (-4)^3 + 3 * (-4)^2 + 9 * (-4) + C
1 = -64/3 + 48 - 36 + C => C = 1 + 64/3 - 12 = -11 + 64/3 = -33/3 + 64/3 = 31/3.
Следовательно, y2 = 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3.
Найдем точки пересечения графиков функций y1 и y2:
y1 = x^2 + 6 * x + 9, y2 = 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3.
x^2 + 6 * x + 9 = 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3 | * 3
3 * x^2 + 18 * x + 27 = x^3 + 9 * x^2 + 27 * x + 31
x^3 + 6 * x^2 + 9 * x + 4 = 0
x = -1 - корень
x^3 + x^2 + 5 * x^2 + 9 * x + 4 = 0
x^2 * (x + 1) + 5 * x^2 + 5 * x + 4 * x + 4 = 0
x^2 * (x + 1) + 5 * x * (x + 1) + 4 * (x + 1) = 0
(x^2 + 5 * x + 4) * (x + 1) = 0
x^2 + 5 * x + 4 = 0
D = 9 => x1 = -4, x2 = -1
x1 = -4, x2 = -1, x3 = -1
Получаем точки пересечения: x = -1 и x = -4.
При -4 <= x <= -1 x^2 + 6 * x + 9 <= 1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3
Тогда
S = int (-4 -1) ((1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3) - (x^2 + 6 * x + 9)) dx =
= int (-4 -1) (1/3 * x^3 + 3 * x^2 + 9 * x + 31/3 - x^2 - 6 * x - 9) dx =
= int (-4 -1) (1/3 * x^3 + 2 * x^2 + 3 * x + 4/3) dx =
= (1/3 * 1/4 * x^4 + 2 * 1/3 * x^3 + 3 * 1/2 * x^2 + 4/3 * x)_{-4}^{-1} =
= (1/12 * x^4 + 2/3 * x^3 + 3/2 * x^2 + 4/3 * x)_{-4}^{-1} =
= (1/12 * (-1)^4 + 2/3 * (-1)^3 + 3/2 * (-1)^2 + 4/3 * (-1)) -
- (1/12 * (-4)^4 + 2/3 * (-4)^3 + 3/2 * (-4)^2 + 4/3 * (-4)) =
= (1/12 - 2/3 + 3/2 - 4/3) - (256/12 - 128/3 + 48/2 - 16/3) =
= (1/12 - 8/12 + 18/12 - 16/12) - (64/3 - 128/3 + 24 - 16/3) =
= -5/12 - (-64/3 + 24 - 16/3) = -5/12 + 64/3 - 24 + 16/3 = -5/12 + 80/3 - 24 =
= -5/12 + 80/3 - 72/3 = 8/3 - 5/12 = 32/12 - 5/12 = 27/12 = 9/4.
Ответ: S = 9/4.

Спасибо большое!!!