Пусть координаты четвертой (искомой) вершины D(x0,y0,z0)
Координаты вершин основания тетраэдра Вы уже нашли (правильность нахождения я не проверял)

A (0;0;0), B(0,5;0;0,), C(0.18;0.24;0).

Расстояние от первой вершины до четвертой (искомой)
AD=sqrt( (0-x0)^2+(0-y0)^2 +(0-z^2) )=550
Расстояние от второй вершины до четвертой (искомой)
BD=sqrt( (0.5-x0)^2+(0-y0)^2 +(0-z^2) )=500
Расстояние от третьей вершины до четвертой (искомой)
СD=sqrt( (0.18-x0)^2+(0,24-y0)^2 +(0-z^2) )=400

Дальше решайте систему 3 уравнений
sqrt( (0-x0)^2+(0-y0)^2 +(0-z^2) )=550
sqrt( (0.5-x0)^2+(0-y0)^2 +(0-z^2) )=500
sqrt( (0.18-x0)^2+(0,24-y0)^2 +(0-z^2) )=400

и находите координаты x0,y0,z0

p.s. проверьте правильность соотношений, т.к. в подробности нахождения A, B и C не вдавался, но суть идеи надеюсь поняли.