Перемудрили. Интегрирование по частям здесь не нужно. Достаточно сделать замену: t=cos(x), dt=-sin(x)dx. Подумайте над пределами интегрирования после замены.
P.S. Можно просто внести синус под знак дифференциала: sin(x)dx=-d(cos(x)).