Удобнее записать общий член ряда в виде

а(n) * q^n

где
а(n)=1/[n+(4/n)]

при q=1 получается получается числовой ряд
(сумма) а(n)
Этот ряд расходится - его можно сравнить (в предельной форме) с гармоническим рядом (сумма) 1/n.

при q= -1 получается получается числовой ряд
(сумма) (-1)^n *а(n)
Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,
так как несложно показать монотонный характер убывания (к нулю) последовательности а(n).