показать что функция z==x^2/2y+x/2+1/x-1/y удовлетворяет уравнению x^2(dz/dx)+y^2(dz/dy)=x^3/y

В чём проблема? Дифференцируйте, подставляйте.

Уравнение совсем не сложное, что у Вас не получается? Или Вы даже не пытались решить? А вообще такие задачи лучше делать самостоятельно, а то потом ничего не понятно будет - что как решается.

А как подобные задачи решаются, посоветуйте нормальный учебник по мат анализу.
И если можно с ссылкой на электронный вариант.

Все, что вам нужно - это почитать про частные производные.
Например книги (вы их без труда найдете, воспользовавшись поиском):
1. Рябушко
2. Запорожец
3. Письменный
4. Каплан