1) Находим общее решение.
y'' + y = 0
k^2 + 1 = 0
k = +- i
y_общ = C1 * sin x + C2 * cos x
2) Частное решение имеет вид
y_част = (A * sin x + B * cos x) * x
Осталось найти А и В, подставив частное решение в уравнение.