z = 0, z = y^2, x = 0, x + y = 2
Помогите, пожалуйста, найти объем данного тела.

В плоскости XOY будет треугольник: x = 0 (ось OY), y = 0 (ось OX), y = 2 - x.
Пределы интегрирования: по z от 0 до y^2, по y от 0 до 2 - x, по x от 0 до 2.
Тогда
V = int (0 2) dx int (0 2-x) dy int (0 y^2) dz = int (0 2) dx int (0 2-x) dy (z)_{0}^{y^2} =
= int (0 2) dx int (0 2-x) y^2 dy = int (0 2) dx (1/3 * y^3)_{0}^{2 - x} =
= int (0 2) dx (1/3 * (2 - x)^3 - 1/3 * 0^3) = 1/3 * int (0 2) (2 - x)^3 dx = | t = 2 - x; x = 2 - t; dx = -dt | =
= -1/3 * int (2 0) t^3 dt = 1/3 * int (0 2) t^3 dt = 1/3 * (1/4 * t^4)_{0}^{2} =
= 1/3 * (1/4 * 2^4 - 1/4 * 0^4) = 1/3 * 1/4 * 16 = 4/3.
Ответ: V = 4/3.