Это потому, что студенты с каждым годом все хуже и хуже.

Разложение в ряд Маклорена для синуса с аргументом х
sin [x]=SUM {(-1)^(n-1)*(x)^(2n-1)}/(2n-1)!
разложение синуса с аргументом (5x/2)^2
sin [(5x/2)^2]=SUM {(-1)^(n-1)*[(5x/2)^2]^(2n-1)}/(2n-1)! Теперь интегрируй по х общуюю формулу, учитывая, что n - постоянная, х - переменная. Получишь новый ряд с искомым общим членом. Новый ряд нужно исследовать на сходимость, т.е. найти область сходимости. Если область сходимости накрывает интервал 0....0,4, то ряд для вычисления интеграла использовать можно, т.е. это является доказательством. Если интервал 0...0,4 не вхоит в область сходимости, то пользоваться разложением нельзя.