Т.к. данная функция определена на всей числовой оси,то "подозрительными на разрыв"являются те точки,в которых изменяется аналитическое выражение функции,т.е. точки х=4 и х=0.Вычислим односторонние пределы в этих точках.
Для точки х=4:

lim_(x->4-0)(x-4/(x-4) + 4/x)=lim_(x->4-0)1+1=2`
lim_(x->4+0)(x-4/(x-4) + 4/x)=lim_(x->4+0)-1+1=0

Односторонние пределы функции в точке х=4 существуют,но не равны между собой.
Следовательно эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки х=0 получаем:
lim -1+ 4/x= -00.
x->0-0
lim -1-4/x= +00.
x->0+0.

То есть в точке 0 пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу => х=0 - тоже точка разрыва первого рода.