1) Пример банальный - y=1/x на интервале (0;1)
2) Пусть функция непрерывна на отрезке,а её множество значений - интервал. и пусть по теореме Вейерштрасса функция достигает своего, например, максимума, т.е. есть такая точка на этом отрезке, что значение функции в ней максимально. Значит, это значение принадлежит интервалу. Но между ним и верхней точкой интервала можно найти такое число, что найдётся на отрезке такой икс, что в нём значение функции равно этому числу. Получается, что первая точка была не максимум - противоречие.