Мои наработки на пример 1:

я разложил дробь на две :
A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2+3).
Привёл их к общему знаменателю, затем приравнял к знаменателю первонач. дроби. Получил:
(A+B )X^2+(B+C)X+(3A+C)=X. Решив систему с этими неизвестными, получил: (B=(7/4), A=(-1/4), C=(-3/4).
Представил как сумму интегралов.
В итоге, получил: -(1/4)*ln|x+1|+1/4*интеграл((7x-3)/(x^2+3)). Что делать дальше, не понимаю...

На примере 2, я сделал всё, как вы сказали. Представил знаменатель как
(x^2+x+2)*(x^2-x+1). Получилось:
интеграл ((AX+B )/(X^2+X+1)) + интеграл ((CX+D)/(X^2-X+1)). Затем делал всё по примеру выше. Получил:
A=-1; B=-3/2; C=1; D=-1/2.
Получилось два интеграла:
интеграл((-x-3/2)/(x^2+x+1))+интеграл ((x-1/2)/(x^2-x+1)). Что делать дальше - не понимаю...