По правилу Лопиталя:
lim n->00 (-1)^n*(n!)/2^n^2 =
= lim n->00 n*(-1)^n-1*2*(n!)/2n*2^n^2*ln2 =
= 1/ln2 lim n->00 (-1)^n-1*(n!)/2^n^2= ???

опять в знаменателе 2^n^2 и в числителе (n!) что с ними делать не знаю