Нарушены многие правила форума. Но задача интересная, попробую ответить, пока тему не закрыли.

Пусть t=sinx. Тогда данное уравнение имеет решение только в том случае, когда имеет решение система
sqrt(a+sqrt(a+t))=t
|t|<=1
Обозначим f(t)=sqrt(a+t), тогда уравнение имеет вид f(f(t))=t. Есть утверждение (которое несложно доказывается), что если функция f(t) строго монотонна (что имеется в нашем случае), то уравнение
f(f(t))=t равносильно уравнению f(t)=t. Поэтому система равносильна системе
sqrt(a+t)=t
|t|<=1
Ясно, что t неотрицательно (слева корень), поэтому получаем равносильную систему
sqrt(a+t)=t
t из [0,1]

Итак, имеем задачу:
найти все значения параметра а, при которых система
sqrt(a+t)=t
t из [0,1]
имеет "ришенее".
Дальше лучше графически - построить график левой и правой части и смотреть, при каких а будут точки пересечения, абсциссы которых из [0,1].
Ясно, что это будет интервал [a0, 0], причем а0 будет то значение параметра а, при котором прямая у=t
будет касательной для графика функции у=sqrt(a+t). Попробуйте найти а0 сами.