Цитата(Vlattt @ 4.6.2010, 13:16)
Как доказать, что нет рационального числа, квадрат которого равен 3?
Нельзя же просто сказать, что √3 - это иррациональное число, поэтому такого числа нет? Нужно доказать...Вот только как?
Смотрели, как доказывается это для √2 ?
От противного. Пусть √3 - рациональное.
Тогда есть целые положительные n и m, что √3=n/m.
Считаем, что
n и m взаимно просты, т.е. уже не имеют общих множителей (иначе их сократим на общие множители в выражении √3=n/m и останутся именно такие).
Возведя в квадрат, получим
(*) n^2=3m^2
Поэтому n^2 делится на 3. Отсюда следует, что и n тоже должно делиться на 3 (докажите, что если n не делится на 3, то и n^2 не делится на 3 - вспомните о единственности разложимости числа на простые множители). Тогда n=3k. Подставляя в (*), получим
m^2=3k^2
Отсюда следует, что и m делится на 3. Таким образом, n и m делятся на 3, что противоречит
их взаимной простоте.