Здравствуйте, помогите решить, пожалуйста.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x+y=2, х= y^2, z=12y, z=0

Правила форума
Где ваши наработки, идеи по решению?

V = int (0 2) dy int (2-y y^2) dx int (0 12y) dz
Я сомневаюсь....поэтому и прошу помощи.

Почему пределы по у такие получились? И по х как выбирали? Спроецируйте вашу область интегрирования на плоскость хОу. Т.е. постройте область x=y^2, x+y=2.

Что-то у меня не очень получается. Сижу мучаюсь.
по y наверное будит так: int (-2 1).
Помогите, пожалуйста, разобраться.

да, -2<=y<=1.
По х?

а по х может так будит: int (1 4) ???

Нет, пределы будут зависит от у. Область нарисовали? Какие там у вас функции? В вашем первоначальном варианте практически правильно было.

Тогда по х будит так: int (2-y y^2) ???

У вас в первоначальном варианте было также и это не есть правильно. х меняется слева направо. Какая из двух функций х=2-у или х=y^2 находится "левее"?

Да, понимаю. Т.е. получается: int (y^2 2-y)
И тогда получается
V = int (-2 1) dy int (y^2 2-y) dx int (0 12y) dz = int (-2 1) dy int (y^2 2-y) 12y dx
Так? Или что-то напутала? Как это теперь привести?

Вроде да.

Рассмотрим повторный интеграл по х (подчеркнут): 12у относительно переменной интегрирования является константой, поэтому это выражение можно вынести за знак интеграла, т.е. получаем:
int (-2 1)dyint (y^2 2-y) 12ydx=int (-2 1)12ydyint(y^2 2-y)dx

А дальше как же это преобразовать? Что получается?

А как вы интеграл по z взяли? Аналогично берите по х. Повторные интегралы находятся "справа налево". Т.е. находите по х, а затем уже определенный остается по переменной у.

Ой, запуталась конкретно.
наверное неправильно : int (-2 1) 12ydy (2-y-y^2).
Как-то что-то не очень получается.

Почему? Вычисляйте теперь определенный по у.

Так....получается тогда.
= 12 int (-2 1) (2y - y^2 - y^3) dy. Так что ли?
А дальше что же получается? Как подсчитать такое?

Да

Да уж, как считать такой определенный интеграл?! Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждого слагаемого, а далее int(a..b )x^ndx=x^(n+1)/(n+1)|(a..b )

Да, понимаю. Начинаю вспоминать всю математику, чему учили.
= 12 ( 2y^2/2 - y^4/4 - y^3/3) | -2 1 Так?
И что получается. Подтолкните дальше?

так.

Теперь вместо х подставляйте верхний предел и отнимает от полученный величины значение вашего выражения от нижнего предела (формула Ньютона-Лейбница).

Да, и у меня получается почему-то ответ отрицательный -31. Это же неправильно?

-27 только

Объем не должен быть отрицательным.

Сейчас перепроверила. И все равно получается -31. И где же ошибка?

у меня -27.

Хм... надо подумать, что-то не вижу. Ждем еще свежего взгляда со стороны.

ну вот смотрите:
12(2/2 - 1/4 - 1/3) -12(4-16/4+8/3) = 12(-7/12) - 12(8/3) = -7-32 = -39
Извините, у меня получается -39. Ну этого все равно не может быть.

=12*(2*6-1*3-1*4)/12=2*6-1*3-1*4=12-3-7=5.
5-32=-27.

Я не понимаю откуда вот это: = 12*(2*6-1*3-1*4)/12=2*6-1*3-1*4=12-3-7=5.
5-32=-27????? У меня же по другому получилось.

12(2/2 - 1/4 - 1/3) - Это у вас такое есть. Приводим теперь в скобках к общему знаменателю, он равен 12, значит первую дробь домножаем на 6, вторую - на 3, третью - на 4.
Тогда получаем: 12(12/12 - 3/12 - 4/12)
Выполняем действия в скобках (действия над дробями с одинаковым знаменателем): 12*(12-3-4)/12=12*(12-7)/12=12*5/12=5.

Ну я не знаю, как у вас такое получилось. Я продолжила ваше решение.

Да, извините, пожалуйста. Увидела свою ошибку. Действительно - 27. Ну почему отрицательное значение получилось. Вот это ваще не понятно. Где-то что-то неправильно. Никто больше не хочет нам помочь в решении.

Не торопитесь, дождемся.

Спасибо вам за помощь.

Пожалуйста, но теперь осталось выяснить, где я вам помогла не так.

Я стала еще раз разбираться, и не вижу ошибки. Завтра сдавать работу. Хотелось бы все разобрать. Хочется все понять до конца.

На мой взгляд,здесь две области - одна выше плоскости Оху, другая ниже. если нужно найти их суммарный объём, нужно рассматривать отдельно части с y>0 и y<0.

Не очень понимаю как это?

Сделайте рисунок - увидите.

Как тогда записать формулу нахождения объема?

Запишите отдельно для y<0 и y>0, потом сложите.

Я не пойму все равно как вывести. Подскажите, пожалуйста.
V = int (??) dy и не знаю как? Помогите. Мне сдавать эту работу, а я никак не могу разобраться.

Сначала разбейте свой интеграл на 2 - по dy от -2 до 0 и от 0 до 1. Потом в первом интеграле, поскольку y<0, получается z<0, поэтому,чтобы получить положительный объём,нужно поменять местами пределы интегрирования. Теперь вычисляйте оба интеграла отдельно и радуйтесь.

Проверьти, пожалуйста, правильно или нет?
V = int (-2 0)dy int (y^2 2-y)dx int (12y o)dz + int (0 1)dy int (y^2 2-y)dx int (12y o)dz
Что-то меня здесь смущает.

Во втором интеграле пределы по у наоборот.

V = int (-2 0)dy int (y^2 2-y)dx int (12y o)dz + int (1 0)dy int (y^2 2-y)dx int (12y o)dz ??????
А по z правильно взяла пределы от 12y до 0 ???

Прошу прощения, имел в виду не по у, по z во втором интеграле, конечно же. В первом правильно, во втором нужно поменять местами.

V = int (-2 0)dy int (y^2 2-y)dx int (12y o)dz + int (0 1)dy int (y^2 2-y)dx int (0 12y)dz
Так???
= 12 ( 2y^2/2 - y^4/4 - y^3/3) | -2 0 + 12 ( -2y^2/2 +y^4/4 + y^3/3) | 0 1
Так???

У меня получается ответ отрицательный... -37. Это же неправильно. Может я неправильно подсчитала?

Похоже на правду.

Я еще раз посчитала. У меня получается отрицательный ответ. Помогите, пожалуйста. Где ошибка?

Минус потеряли. Вот так будет:
-12 ( 2y^2/2 - y^4/4 - y^3/3) | -2 0 + 12 ( 2y^2/2 -y^4/4 - y^3/3) | 0 1