Пожалуйста, помогите исследовать ряд на равномерную сходимость: сумма от 1 до бесконечности (-1)^n*(1-x)*x^n на [0,1]
при любом результате...буду очень вам благодарна

Можно, наверное, так.

Найдем остаток ряда после n-го члена
Rn(x)=(-1)^(n+1)*(1-x)*x^(n+1)*(1-x+x^2-x^3+x^4-....)=
=(-1)^(n+1)*(1-x)*x^(n+1)*(1+x)

Теперь пользуемся теоремами о равн. сх-ти:
1) Ряд сходится равномерно тогда и только тогда, когда остаток равномерно идет к 0.
2) Последовательность функций Rn(x) равномерно стремится к 0 тогда и только тогда, когда
lim [sup |Rn(x)|]=0
В примере
|Rn(x)|=(1-x)*x^(n+1)*(1+x)
Найдите (с пом. произв.) максимальное значение |Rn(x)|=(1-x)*x^(n+1)*(1+x)
на [0,1] и посмотрите написанный предел.