Пишу то, что сразу пришло в голову.

1.«Доказать, что понятие кривой второго порядка не зависит от выбора системы координат.»
Кривая наз. kривой второго порядка, если в некоторой прямоугольной системе координат ее уравнение имеет вид:
(1) a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y+f=0
Пусть имеется кривая второго порядка, а потому в некот. сист. координат xOy она имеет уравнение вида (1).
Докажем, что в любой другой прямоуг. системе координат x'Oy' ее уравнение тоже будет тоже иметь вид (1) (это и надо доказать). Связь координат точки в любых двух прямоуг. системах координат имеет вид (т.к. системы переходят друг в друга некоторым поворотом и сдвигом):
x=a1*x'+b1*y'+c1
y=a2*x'+b2*y'+c2

Подставляя эти выражения в (1), раскрывая скобки и приводя подобные - опять получим уравнения вида (1) (пусть и с другими коэффициентами). Что и требовалось.



2." Доказать, что элементарные преобразования, допустимые в процессе нахождения ранга матрицы её ранг не меняют."
Думаю, так.
Пользуемся тем, что при элементарных преобразованиях определителя его значение не меняется.
Элементарные преобразования всей матрицы приводят к тем же элементарным преобразованиям любого из ее миноров (если в начальном преобразовании участвуют строки или столбцы, входящие в данный минор), а потому не меняют числовые значения миноров. Поэтому и ранг не изменится.



3. "Квадратная матрица называется кососимметрической, если для всех i, j aji = -aij .
Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю."

Пользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а общий множитель любой строки можно выносить за знак определителя.

Пусть определитель =а.
Если кососимметрическую матрицу транспонировать, а потом из каждой строки вынести множитель (-1), то получится снова исходная матрица (проверьте), а потому ее определитель не изменится. С другой стороны при описанных преобразованиях из определителя должен вынестись множитель (-1) в нечетной степени, т.е. (-1).
Итак, а=-а, т.е. а=0.

Остальные два свойства надо найти в учебниках - они там доказываются при формулировке этих свойств.