Пока шел сегодня в институт в голову пришла интересная функция. Поскольку она обладает интересными свойствами, то не сомневаюсь, что она кем-то уже давно придумана.
Функция задана на (0,1) (для простоты) и определяется так:
f(x)=0, если х иррационально;
f(x)=1/n, если x=m/n рацонально (дробь уже несократимая)
А интересна она тем, что непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна в рациональных. И это несложно строго доказать - по дороге я и доказательство придумал. Поэтому множество точек разрыва счетно (а потому функция интегрируема) и всюду плотно.
А вот если положить
f(x)=1, если х иррационально;
f(x)=1/n, если x=m/n рацонально (дробь уже несократимая)
то получим функцию, которая разрывна везде!
А потому не интегрируема (по Риману; по Лебегу интегрируема, так как она эквивалентна тождественной единице).
Может быть кому-нибудь пригодится в преподавании.
Хотя моим студентам такого не раскажешь.