Нахождение объема тела, образованного врашением фигуры, Нахождение объема тела, образованного врашением фигуры Опции

[Кузнецов Олег]

Здраствуйте. Помогите пожалуйста решить задачу: Найти объем тела, образованного вращением фигуры ограниченного линиями вокруг оси Ox:
x = 2*R*cos(t) - R*cos(2*t)
y = 2*R*sin(t) - R*sin(2*t)
0<=t<=2PI (кардиоида)

Вот начало решения задачи:
dx = (2Rcos(t) - Rcos(2t))'dt = (2R(-sin(t)) - R(-sin(2t))*2)dt = 2R(sin(2t) - sin(t))dt
-------------------------------------------------------
V= \pi \int_{0}^{2\pi }{y}^{2}dx = \pi\int_{0}^{2\pi }{(2Rsin(t) - Rsin(2t))}^{2} 2R(sin(2t) - sin(t))dt = \pi\int_{0}^{2\pi }{R}^{2}{(2sin(t) - sin(2t))}^{2} 2R(sin(2t) - sin(t))dt = 2{R}^{3}\pi\int_{0}^{2\pi }}{(2sin(t) - sin(2t))}^{2}*(sin(2t) - sin(t)) dt

Подскажите правилен ли ход решения. И если правилен то как преобразовать тигонометрическое выражение и как проще его проинтегрировать.
Заранее спасибо.

[barklay]

Здраствуйте. Помогите пожалуйста решить задачу: Найти объем тела, образованного вращением фигуры ограниченного линиями вокруг оси Ox:
x = 2*R*cos(t) - R*cos(2*t)
y = 2*R*sin(t) - R*sin(2*t)
0<=t<=2PI (кардиоида)
...

Формула вроде правильная. Для вычисления интеграла раскрывайте скобки и вычисляй интеграл от каждого слагаемого в отдельности.
Где необходимо, переходите к двойному аргументу или, наоборот, к одинарному. Задача на самом деле стандартная.