y'' + 3y' + 2y = 1/(e^x + 1) Опции

[LE0n-X]

Дифференциальные уравнения, решить методом вариаций

Y''+3Y'+2Y=1/(e^x +1) (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

[Тролль]

Дифференциальные уравнения, решить методом вариаций

Y''+3Y'+2Y=1/(e^x +1) (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)

1) Сначала решаем однородное уравнение:
y'' + 3y' + 2 = 0
Характеристическое уравнение: k^2 + 3k + 2 = 0
D = 1 => k1 = -1, k2 = -2 => y1 = e^(-x), y2 = e^(-2x)
y_одн = C1 * e^(-x) + C2 * e^(-2x)
2) Решаем неоднородное уравнение:
y'' + 3y' + 2y = 1/(e^x + 1)
Решение этого уравнения имеет вид:
y = C1 (x) * e^(-x) + C2 (x) * e^(-2x)
C1 (x) и C2(x) находим из системы:
C1'(x) * e^(-x) + C2'(x) * e^(-2x) = 0,
C1'(x) * (e^(-x))' + C2'(x) * (e^(-2x))' = 1/(e^x + 1).

C1'(x) * e^(-x) + C2'(x) * e^(-2x) = 0, |* e^(2x)
C1'(x) * (-e^(-x)) + C2'(x) * (-2 * e^(-2x)) = 1/(e^x + 1).

Из первого уравнения: C2'(x) = -C1'(x) * e^x. Подставим полученное во второе уравнение:
C1'(x) * (-e^(-x)) - C1'(x) * e^x * (-2 * e^(-2x)) = 1/(e^x + 1)
C1'(x) * e^(-x) = 1/(e^x + 1)
C1'(x) = e^x/(e^x + 1) => C2'(x) = -e^(2x)/(e^x + 1)
Осталость найти C1(x) и C2(x), а затем подставить.

[LE0n-X]

Спосибо за помощ!!!":D"