Вычисление объема тела, ограниченного поверхностями z = 2 * x^2 + 18 * y^2, z = 6 Опции

[quf]

Помогите, пожалуйста, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
z = 2 * x^2 + 18 * y^2, z = 6
Заранее спасибо!!

[tig81]

z = 2 * x^2 + 18 * y^2, z = 6
Найдем область интегрирования по х и у.
z = 2 * x^2 + 18 * y^2, z = 6 => 2 * x^2 + 18 * y^2 = 6 |:2
x^2 + 9 * y^2 = 3 - эллипс
Переходим к обощенным полярным координатам:
x = r * cos fi, y = 1/3 * r * sin fi
Тогда
(r * cos fi)^2 + 9 * (1/3 * r * sin fi)^2 = 3
r^2 * cos^2 fi + 9 * 1/9 * r^2 * sin^2 fi = 3
r^2 = 3 => 0 <= r <= 3^(1/2), 0 <= fi <= 2 * pi
Также 2 * x^2 + 18 * y^2 <= z <= 6
2 * (x^2 + 9 * y^2) <= z <= 6
2 * r^2 <= z <= 6
Получаем, что
V = int (0 2pi) dfi int (0 3^(1/2)) 1/3 * r * dr int (2 * r^2 6) dz =
= int (0 2pi) dfi int (0 3^(1/2)) 1/3 * r * dr z_{2 * r^2}^{6} =
= int (0 2pi) dfi int (0 3^(1/2)) 1/3 * r * (6 - 2 * r^2) dr =
= 1/3 * int (0 2pi) dfi int (0 3^(1/2)) (6 * r - 2 * r^3) dr =
= 1/3 * int (0 2pi) dfi (6 * 1/2 * r^2 - 2 * 1/4 * r^4)_{0}^{3^(1/2)} =
= 1/3 * 2 * pi * (3 * r^2 - 1/2 * r^4)_{0}^{3^(1/2)} =
= 2/3 * pi * ((3 * 3 - 1/2 * 9) - (3 * 0 - 1/2 * 0)) = 2/3 * pi * (9 - 9/2) =
= 2/3 * pi * 9/2 = 3 * pi
Ответ: V = 3 * pi.

[quf]

Спасибо большое (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)