Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми r = 2 * cos fi, r = 1 (r > 1) Опции

[RaV]

Помогите, пожалуйста, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
r = 2 * cos fi, r = 1 (r > 1)

[tig81]

r = 2 * cos fi, r = 1 (r > 1)
Так как r > 1 => 2 * cos fi > 1 => cos fi > 1/2 => -pi/3 < fi < pi/3
Получаем, что
S = int (-pi/3 pi/3) dfi int (1 2 * cos fi) r dr =
= int (-pi/3 pi/3) dfi (1/2 * r^2)_{1}^{2 * cos fi} =
= int (-pi/3 pi/3) (1/2 * (2 * cos fi)^2 - 1/2 * 1^2) dfi =
= int (-pi/3 pi/3) (1/2 * 4 * cos^2 fi - 1/2) dfi =
= int (-pi/3 pi/3) (2 * (1 + cos 2fi)/2 - 1/2) dfi =
= int (-pi/3 pi/3) (1 + cos 2fi - 1/2) dfi = int (-pi/3 pi/3) (1/2 + cos 2fi) dfi =
= (1/2 * fi + 1/2 * sin 2fi)_{-pi/3}^{pi/3} =
= (1/2 * pi/3 + 1/2 * sin (2pi/3)) - (1/2 * (-pi/3) + 1/2 * sin (-2pi/3)) =
= (pi/6 + 1/2 * 3^(1/2)/2) - (-pi/6 - 1/2 * 3^(1/2)/2) =
= pi/6 + 3^(1/2)/4 + pi/6 + 3^(1/2)/4 = pi/3 + 3^(1/2)/2.
Ответ: S = pi/3 + 3^(1/2)/2.