x * y' + y = y^2, y(1) = 1/2 Опции

[evtish]

Помоги пожалуйста решить!
Найти частное решение дефференциального уравнения.
xy'+y=y^2, y(1)=1/2

[Тролль]

Помоги пожалуйста решить!
Найти частное решение дефференциального уравнения.
xy'+y=y^2, y(1)=1/2

1) Сначала решаем однородное уравнение
x * y' + y = 0
x * dy/dx + y = 0
x * dy/dx = -y
dy/y = -dx/x
Проинтегрируем
int dy/y = -int dx/x
ln |y| = -ln |x| + C
y = C/x.
2) Решаем неоднородное уравнение: x * y' + y = y^2, где y = C(x)/x.
Тогда y' = (C'(x) * x - C(x))/x^2. Подставляем полученное в уравнение.
x * (C'(x) * x - C(x))/x^2 + C(x)/x = C^2(x)/x^2
C'(x) - C(x)/x + C(x)/x = C^2(x)/x^2
C'(x) = C^2(x)/x^2
dC(x)/dx = C^2(x)/x^2
dC(x)/C^2(x) = dx/x^2
int dC(x)/C^2(x) = int dx/x^2
-1/C(x) = -1/x - C
1/C(x) = 1/x + C
Тогда
C(x) = 1/(1/x + C) = 1/(1/x * (1 + Cx)) = x/(1 + Cx)
Так как y = C(x)/x, то y = 1/(1 + Cx).
По условию y(1) = 1/2 => 1/2 = 1/(1 + C * 1) => 1/2 = 1/(1 + C) => 1 + C = 2 => C = 1

Ответ: y = 1/(1 + x).

[Phrep]

1) Сначала решаем однородное уравнение

Это нелинейное уравнение. В правой части y, а не x.

[Тролль]

А какая разница-то? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Phrep]

А какая разница-то? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Ну как какая?
Термины "однородное", "неоднородное", заклинание "общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного" и метод вариации постоянных -- это всё из теории линейных уравнений. К нелинейным оно в общем случае неприменимо. В данном случае просто повезло, что получившаяся замена прошла. А читатель может подумать, что ему показали некий метод.
Достаточно слегка испортить задачу и везение закончится: xy' + y = y^2+1.

1) Сначала решаем однородное уравнение
x * y' + y = 0

Это уравнение плохо называть однородным. В правой части был игрек.

[Тролль]

Термины однородное и неоднородное уравнение возникают не только в теории дифференциальных уравнений.
Уравнение x * y' + y = 0 является однородным, потому что правая часть равна 0.
Приведенное здесь уравнение является уравнением Бернулли. Оно решается как заменой
t = y^(1 - m), так и методом, который я описал. То есть линейное уравнение и уравнение Бернулли можно решать одним и тем же способом. Если я конечно ничего не путаю)
Хотя учать конечно делать замену) Просто иногда проходит и такой способ, почему бы и не воспользоваться им?)