y' + y = x + 2, y(0) = 0 Опции

[SQZME]

y'+y=x+2 y(0)=0 помогите)

[Тролль]

y'+y=x+2 y(0)=0 помогите)

1) Решаем однородное уравнение
y' + y = 0
dy/dx = -y
dy/y = -dx
Интегрируем
int dy/y = -int dx
ln |y| = -x + C
y = C * e^(-x)
2) Решаем неоднородное уравнение y' + y = x + 2, где y = C(x) * e^(-x).
Тогда
y' = C'(x) * e^(-x) - C(x) * e^(-x)
Подставим полученное в уравнение
C'(x) * e^(-x) - C(x) * e^(-x) + C(x) * e^(-x) = x + 2
C'(x) * e^(-x) = x + 2 => C'(x) = (x + 2) * e^x
C(x) = int (x + 2) * e^x dx = int (x + 2) d(e^x) = (x + 2) * e^x - int e^x d(x + 2) =
= (x + 2) * e^x - int e^x dx = (x + 2) * e^x - e^x + C = (x + 1) * e^x + C
y = C(x) * e^(-x) => y = ((x + 1) * e^x + C) * e^(-x) = x + 1 + C * e^(-x)
y = x + 1 + C * e^(-x)
y(0) = 0 => 0 = 0 + 1 + C * e^(-0) => 0 = 1 + C => C = -1

Ответ: y = x + 1 - e^(-x).