Нахождение потока векторного поля a = {x + x^2 * y * z; y + x * z^3; 2 * z - x * y * z^2}, через поверхность тела V: x^2 + y^2 <= 1, 0 <= z <= 2 - (x^2 Опции

[Orfiso]

Помогите, пожалуйста, найти поток векторного поля а через внешнюю сторону поверхности тела V, заданного неравенствами
а = {x + x^2 * y * z, y + x * z^3, 2 * z - x * y * z^2}
V: x^2+y^2 <= 1, 0 <= z <= 2 - (x^2 + y^2)^(1/2)

[Ярослав_]

a = {x + x^2 * y * z; y + x * z^3; 2 * z - x * y * z^2}
V: x^2 + y^2 <= 1, 0 <= z <= 2 - (x^2 + y^2)^(1/2)
Решение.
P = x + x^2 * y * z, Q = y + x * z^3, R = 2 * z - x * y * z^2
div a = dP/dx + dQ/dy + dR/dz =
= (x + x^2 * y * z)'_x + (y + x * z^3)'_y + (2 * z - x * y * z^2)'_z =
= 1 + 2 * x * y * z + 1 + 2 - 2 * x * y * z = 4
Тогда
Поток = int 4 dx dy dz.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
Тогда
0 <= z <= 2 - (x^2 + y^2)^(1/2) => 0 <= z <= 2 - r
x^2 + y^2 <= 1 => 0 <= fi <= 2 * pi, 0 <= r <= 1
Поток = 4 * int (0 2 * pi) dfi int (0 1) r dr int (0 2 - r) dz =
= 4 * int (0 2 * pi) dfi int (0 1) r dr (z)_{0}^{2 - r} =
= 4 * int (0 2 * pi) dfi int (0 1) r * (2 - r) dr =
= 4 * 2 * pi * int (0 1) r * (2 - r) dr = 8 * pi * int (0 1) (2 * r - r^2) dr =
= 8 * pi * (2 * 1/2 * r^2 - 1/3 * r^3)_{0}^{1} =
= 8 * pi * (r^2 - 1/3 * r^3)_{0}^{1} =
= 8 * pi * ((1^2 - 1/3 * 1^3) - (0^2 - 1/3 * 0^3)) =
= 8 * pi * (1 - 1/3) = 8 * pi * 2/3 = 16 * pi/3.
Ответ: Поток = 16 * pi/3.

[Tomino]

44444444444444444444444444444444444444