Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения, Ряды Тейлора (Маклорена) Опции

[Ancestor]

Привет, помогите пожалуйста разобраться с заданием:


С помощью разложения в ряд найти приближённо частное решение дифференциального уравнения (определить пять отличных от нуля членов разложения).


y' = y + x * (exp^y), y(0) = 0;


Я начал решать вот так:
1. y' = y + x * (exp^y) = 0 + 0*1 = 0;
2. y'' = ( y + x * (exp^y) )' = y' + exp^y + x * (exp^y) * y' = 0 + 1 + 0 * 1 = 1;
3. Y''' = ( y' + exp^y + x * (exp^y) * y' )' = y'' + (exp^y) * y' + (exp^y) * y + x * ( (exp^y)' * y' + (exp^y) * y' ) =
= y'' + (exp^y) * y' + (exp^y) * y' + x * ( exp^y * y' * y' + (exp^y) * y' ) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1;


У меня возникло сомнение, правильно ли я взял производную на третьем этапе: ( x * (exp^y) * y' )' = ?

[tig81]

Привет, помогите пожалуйста разобраться с заданием:
С помощью разложения в ряд найти приближённо частное решение дифференциального уравнения (определить пять отличных от нуля членов разложения).
y' = y + x * (exp^y), y(0) = 0;
Я начал решать вот так:
1. y' = y + x * (exp^y) = 0 + 0*1 = 0;

y' = y + x * (exp^y) => y'(0) = y(0) + 0*e^y(0) = 0+0*1 = 0

2. y'' = ( y + x * (exp^y) )' = y' + exp^y + x * (exp^y) * y' =>y''(0)= 0 + 1 + 0 * 1 = 1;

тут также лучше немного подправить (выделено красным)

3. Y''' = ( y' + exp^y + x * (exp^y) * y' )' = y'' + (exp^y) * y' + (exp^y) * y + x * ( (exp^y)' * y' + (exp^y) * y' ) =
= y'' + (exp^y) * y' + (exp^y) * y' + x * ( exp^y * y' * y' + (exp^y) * y' ) =>y'''(0)= 1 + 0 + 0 + 0 = 1;
У меня возникло сомнение, правильно ли я взял производную на третьем этапе: ( x * (exp^y) * y' )' = ?

Непонятна скобка, выделенная синим
( y' + exp^y + x * (exp^y) * y' )'=y''+(x*e^y*y')'=y''+(x)'*e^y*y'+x*(e^y)'*y'+x*e^y*(y')'=...

[Ancestor]

y' = y + x * (exp^y) => y'(0) = y(0) + 0*e^y(0) = 0+0*1 = 0

тут также лучше немного подправить (выделено красным)

Непонятна скобка, выделенная синим
( y' + exp^y + x * (exp^y) * y' )'=y''+(x*e^y*y')'=y''+(x)'*e^y*y'+x*(e^y)'*y'+x*e^y*(y')'=...

Спасибо, значит, если не считать потерю штрихов и оформление, в целом я на верном пути?

[tig81]

Спасибо, значит, если не считать потерю штрихов и оформление, в целом я на верном пути?

Ход решения верен (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Третья производная найдена немного неверно, а так пока найдено одно ненулевое слагаемое y''(0).