Задачи по линейной алгебре,первый курс, Базис и подпространства Опции

[Gia Craft]

Здравствуйте! Я перечитала кучу литературы, но практики, к сожалению у меня не хватает. Не могли бы вы хотя бы немного направить меня в нужную сторону... Мне срочно требуется помощь,так как контрольная на носу.

1)дана система векторов. выделить максимальную линейно-независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы.
a=(3;2;-5)
b=(3;-1;3)
c=(3;5;-13)
как я поняла число векторов в максимальной линейной-независимой подсистеме равно рангу матрицы,составленной из коэффициентов.Это верно?

2)Доказать, что пространство R4 является прямой суммой линейных подпространств, натянутых на указанные системы векторов. Найти разложение указанного вектора по этим подпространствам.
Как доказать,я знаю(по теореме).Но как разложить вектор по подпространствам?

3)Доказать, что некоторое указанное множество векторов является подпространством. Найти его базис и размерность.
Доказать,это как я понимаю,показать,что выполняются аксиомы линейного подпространства их две. А потом составить матрицу из коэффициентов,свести ее к треугольному виду.

Пожалуйста,поправьте,уточните и скажите пожалуйста мне примерный алгоритм решения этих задач.
ps. для последних двух задач,у меня нет данных,но скорее всего они будут записаны также как и в первой.

[граф Монте-Кристо]

1) Да.
2) Найти базис в каждом подпространстве, разложить исходный вектор по векторам, каждый из которых принадлежит одному и только одному подпространству.
3)Да, верно.

[Gia Craft]

Спасибо!
Во втором разложить вектор по базису каждого подпространства в отдельности?

[граф Монте-Кристо]

Нет, каждого в отдельности не получится. Нужно в каждом подпространстве найти свой "локальный" базис, а потом взять в качестве "глобального" базиса объединение всех "локальных", и уже по нему раскладывать.

[Gia Craft]

Нет, каждого в отдельности не получится. Нужно в каждом подпространстве найти свой "локальный" базис, а потом взять в качестве "глобального" базиса объединение всех "локальных", и уже по нему раскладывать.

ааа...найти базисы каждого в отдельности,затем из всех этих полученных базисных векторов построить матрицу вычислить общий базис и по нему разложить. или просто взять отдельные базисы этих подпространств в кучу и по ней раскладывать? вот что значит "объединение"
извиняюсь за тупость.

[tig81]

вот что значит "объединение"
извиняюсь за тупость.

рассмотреть все базисные векторы вместе

[Gia Craft]

к счастью,я нашла аналогичный пример в интернете. не так все просто.нужно найти базис суммы подпространств,а затем решить неоднородное СЛАУ, где матрицу коэффициентов базисов суммы подпространств нужно умножить на какие-либо неизвестные и приравнять вектору,который нужно разложить. Потом найти эти неизвестные и сам вектор еще разложить на сумму двух векторов...вобщем проблематично словами объяснить,но немного понятно.

[tig81]

(IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)