Задачи на доказательство Опции

[Maths]

Здравствуйте! Помогите, пожвлуйста, мне решить следующие задачи. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
1) Доказать, что при каждом значении параматера а уравнение х^2-2(а+1)х+у^2-у*а^2=1 задает окружность и центры этих окружностей лежаь на одной параболе. Найти уравнение этой параболы.

Я уже нашел уравнение окружности (х-(а+1))^2+(у-(а^2)/4)^2=1-(а+1)^2-(a^4)/4
Радиус тут не так уж важен. Получается, что смещение по оси Ох на (а+1), а по оси Оу на (a^2)/2.
Как доказать, что это точки одной параболы и найти ее уравнение.


2) Доказать, что при каждм натуральном м выражение м(м+7)(м+14)-4 не делится на 6.
Я даже не знаю, как решать... Единственное можно представить это выражение в виде м(м-7)(м+7)-4, но, преобразовав его, получае кубическое уравнение м^3-49м-4. Может быть, мыслю не в том направлении.

Заранее большое спасибо!

[граф Монте-Кристо]

Насчёт первого задания - там всё достаточно просто.
Если X - абсцисса, а Y - ордината центра окружности,то
Х=а+1, Y=(a^2)/4
Просто выразите а через Х и подставьте в выражение для Y.Получится уравнение параболы (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Насчёт второго...Вы проходили метод математической индукции?

[Maths]

Конечно, проходил) Спасибо Вам большое! Но у меня возникла трудность с доказательством при м=к+1...

[граф Монте-Кристо]

Понимаю,сам сначала не понял))
Значит, м(м+7)(м+14) не делится на 6,то есть можно сказать,что это выражение равно 6k+a,где а может принимать значения от 1 до 5.
При м=1 утверждение верно.Пусть оно верно при м=n и докажем,что оно верно и при м=n+1.
Подставим м в выражение,раскроем скобки и заменим часть из получившегося многочлена на 6k+а - получится примерно так:
(м+1)(м+8)(м+15)=6k+a+3*(n^2)+45n+120
Теперь осталось доказать,что a+3*(n^2)+45n не делится на 6 ни при каких а=1,2,3,4,5.На самом деле это не сложно - можно доказать от противного.Предположить,что выражение кратно 6,тогда единственное возможное значение для а - а=3.Получим
1+n^2+15n=2t
Левая часть вспри любых натуральных n - нечётное число,а правое - всегда чётно.Противоречие)))

[malk]

2)Можно проще
м(м+1+6)(м+2+12) всегда делиться на 6, так как среди трех чисел подряд есть четное и кратное 3.
Если отнять 4, то всегда не делится.