lim (3x-pi)/1-2cosx as x->pi/3 Опции

[бубик]

Помогите решить с помощью правила Лопиталя и без него. За ранее спасибо

[Тролль]

С помощью правила Лопиталя:
lim (3x - pi)/(1 - 2cos x) = lim 3/(2sin x) = 3/(2 * sin pi/3)) = 3/(2 * 3^(1/2)/2) = 3/3^(1/2) = 3^(1/2)
Без правила Лопиталя
lim (3x - pi)/(1 - 2cos x) = | t = 3x - pi, x = (t + pi)/3 | = lim (t->0) t/(1 - 2cos (t/3 + pi/3)) =
= lim (t->0) t/(1 - 2 * cos t/3 * cos pi/3 + 2 * sin t/3 * sin pi/3) =
= lim (t->0) t/(1 - cos t/3 + 3^(1/2) * sin t/3) = lim (t->0) t/(1 - (1 - 2 * sin^2 (t/6) + 3^(1/2) * sin t/3)) =
= lim (t->0) t/(2 * sin^2 (t/6) + 3^(1/2) * sin t/3))
А дальше используем замечтальный предел

[бубик]

А что за замечательный предел

[Тролль]

sin x/x -> 1 при x->0