интеграл от erf Опции

[nqks]

см пост номер 5(в этом сообщении приведена исходная задача,которая была упрощена)
предмет-защита предприятий и гражданская оборона,но знания требуются в области тервера.(не обращайте внимание на формулировки,важны лишь формульные значения).
собственно,в результате решения задачи о получении модели поля концентрации для мгновенного линейного источника,расположенного перпендикулярно ветру,при равномерном распространении вещества.
исходное-dc(x,y,z,t)=dQf(x,t)u(y-y')v(z)
при решении данного уравнения получился результат:
с(x,y,z,t)=(1/4yo)*[erf((y+yo)/(sqrt(2)*sigmay))-erf((y-yo)/(sqrt(2)sigmay))]; (1)
yo-пределы интегрирования в ходе решения.
sigmay-среднее квадратическое отклонение.
собственно,вопрос:как проинтегрировать выражение (1) от минус бесконечности до плюс бесконечности?
*разумеется,в ответе должна получиться единица*
по поводу своих идей:была пока только единственная идея-перейти в сферическую систему координат,но она особым успехом не увенчалась.

[tig81]

Простите, запамятовала, наверное, а что такое erf?

[nqks]

функция ошибок.я чуть позже напишу сегодняшние наработки*получилось для 2-мерного пространства,для 3-мерного пока явно не выходит*

[tig81]

функция ошибок.

Спасибо.

[nqks]

собственно говоря,задача упростилась.теперь всё сводится к тому,что нужно вычислить интеграл в сферических координатах:
int(dfi)int(dteta)int{exp[(- (r^2)*(sin^2(teta)*cos^2(fi)+sin^2(teta)*sin^2(fi)+cos^2(teta)]*r^2*sin(teta)dr}


fi,teta-полярный и азимутальный углы.(их брать в пределах от 0 до 2П),dr в пределах от 0 до плюс бесконечности.

текстом:3 повторных интеграла:
1)от 0 до 2П по элементарному азимутальному углу
2)от 0 до 2П по элементарному полярному углу
3)экспонента в огромной степени на якобиан перехода(r^2(sin(teta)) по элементарной длине.

в 2-мерной системе всё считается предельно просто(там выносится r^2 из скобки в экспоненте,синус квадратный с таким же косинусом в сумме уходят в единицу,якобиан под знак дифференциала и выходит простой интеграл.

будьте добры,подскажите,пожалуйста.

[malkolm]

с(x,y,z,t)=(1/4yo)*[erf((y+yo)/(sqrt(2)*sigmay))-erf((y-yo)/(sqrt(2)sigmay))]; (1)
собственно,вопрос:как проинтегрировать выражение (1) от минус бесконечности до плюс бесконечности?
*разумеется,в ответе должна получиться единица*
по поводу своих идей:была пока только единственная идея-перейти в сферическую систему координат,но она особым успехом не увенчалась.

Запишите каждый erf через интеграл по t и измените порядок интегрирования: вместо интегрирования внитри по t, снаружи по y, сделайте интегрирование внутри по y, а снаружи по t. Единица должна вылезти, из свойств erf на бесконечности.

Вообще, если F(x) есть произвольная функция распределения, то функция (F(x-a)-F(x-b )) / (b-a) является плотностью распределения. А именно, распределения суммы двух независимых случайных величин - с распределением F и с равномерным на [a, b ] распределением. Так что если константы у Вас там правильные, то функция обязана быть плотностью, т.е. быть нормированной. Разумеется, чтобы к этому виду привести, нужно erf заменить на функцию распределения любым преобразованием сдвига и масштаба, например erf(x) = 2Ф(x*sqrt{2})-1, где Ф(x) - функция стандартного нормального распределения.

[nqks]

Запишите каждый erf через интеграл по t и измените порядок интегрирования: вместо интегрирования внитри по t, снаружи по y, сделайте интегрирование внутри по y, а снаружи по t. Единица должна вылезти, из свойств erf на бесконечности.

Вообще, если F(x) есть произвольная функция распределения, то функция (F(x-a)-F(x-b )) / (b-a) является плотностью распределения. А именно, распределения суммы двух независимых случайных величин - с распределением F и с равномерным на [a, b ] распределением. Так что если константы у Вас там правильные, то функция обязана быть плотностью, т.е. быть нормированной. Разумеется, чтобы к этому виду привести, нужно erf заменить на функцию распределения любым преобразованием сдвига и масштаба, например erf(x) = 2Ф(x*sqrt{2})-1, где Ф(x) - функция стандартного нормального распределения.

дада,это понятно,но нужно обойтись без функции стандартного нормального распределения.
в общем,я решил для 2-мерного пространства,осталось для 3-мерного.чуть выше я привёл интеграл,в котором происходит загвоздка.

[malkolm]

дада,это понятно,но нужно обойтись без функции стандартного нормального распределения.

Не понял: Вам ехать или шашечки? То, что данная функция имеет единичную площадь подграфика, получается элементарной сменой порядка интегрирования. Впрочем, хозяин - барин (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[nqks]

я только-только начал тервер учить,нету у меня еще подкованности,чтобы вести разговор на какие-либо теоретические темы по этому вопросу.
суммируя,задача выглядит следующим образом:
посчитать интеграл в сферических координатах
nt(dfi)int(dteta)int{exp[(- (r^2)*(sin^2(teta)*cos^2(fi)+sin^2(teta)*sin^2(fi)+cos^2(teta)]*r^2*sin(teta)dr}



fi,teta-полярный и азимутальный углы.(их брать в пределах от 0 до 2П),dr в пределах от 0 до плюс бесконечности.

текстом:3 повторных интеграла:
1)от 0 до 2П по элементарному азимутальному углу
2)от 0 до 2П по элементарному полярному углу
3)экспонента в огромной степени на якобиан перехода(r^2(sin(teta)) по элементарной длине.

[malkolm]

Первоначальная задача вроде бы иначе выглядела: "собственно,вопрос:как проинтегрировать выражение (1) от минус бесконечности до плюс бесконечности?" Очевидно, как она решается: см. выше - изменить порядок интегрирования. Боюсь, что если непременно хочется брать интегралы в сферических координатах, то это не тот раздел.