y'=(2y+1)ctg(x),y(Pi/4); y * y'' - 2 * (y')^2 = 0 Опции

[Сорокин Алексей]

Здравствуйте! Не могли бы вы помочь ещё с двумя задачками... Требуются только варианты ответов.

1.
Частное решение дифференциального уравнения y'=(2y+1)ctg(x) при y(Pi/4)=1/2 имеет вид:
1) 2sin^2(x)-1/2
2) sin^2(x)-1
3) sin^2(x)+1/2
4) sin^2(x)+1
5) sin^2(x)

2.
Общим решением дифференциального уравнения yy''-2(y')^2=0 является:
1) y=1/(C1*x+C2)
2) y=C1/(x+C1)
3) y=1/(C1*x+1)+C2
4) y=0
5) y=C1/(x+C2)+2

Тут попробовал - вариант ответа 4), прикотором равенство ДУ выполняется. Так?

[venja]

В первом условию y(Pi/4)=1/2 удовлетворяют ответы 1) и 5). Проверьте каждый ихз них подстановкой в уравнение.
Второе уравнение - уравнение 2-го порядка, не содержащее х. Посмотрите метод понижения порядка уравнения.

[Сорокин Алексей]

В первом условию y(Pi/4)=1/2 удовлетворяют ответы 1) и 5). Проверьте каждый ихз них подстановкой в уравнение.
Второе уравнение - уравнение 2-го порядка, не содержащее х. Посмотрите метод понижения порядка уравнения.

Спасибо большое за помощь!

Попробовал метод понижения порядка:

yy''=2(y')^2
Пусть y'=p(y), тогда y''=dy'/dx=d(p(y))/dx=dp/dy * dy/dx = p'(y)p(y)=pp'
Подставил в исходное уравнение:
ypp'=2p^2
pdp/p^2=2dy/y, где y<>0
int pdp/p^2 = 2 * int dy/y
int dp/p = 2 * int dy/y
ln |p| = 2 * ln |y| + C1
p = C1 * y^2
p = y' => y' = C1 * y^2 => dy/dx = C1 * y^2
dy/y^2=C1 dx
-1/y = C1 * x + C2
1/y = C1 * x + C2
y = 1/(C1 * x + C2)
Ответ 1)
Спасибо огромное!!!!