Из источника: Числа рациональные и иррациональные. А. Нивен. --- Москва., изд. Мир., под ред. И. М. Яглома. 1966
(раздел Современная математика; рубрика Популярная серия)

Отрывок из Гл. 2, параграфа 4, стр. 48 -49:

... Таким образом, нами доказана половина следующего предложения:
Всякое рациональное число a/b представимо как конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь; обратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляют собой некоторое рациональное число .

Вторая половина этого предложения, которую нам еще только предстоит доказать, касается двух типов десятичных дробей --- конечных и бесконечных периодических. Конечные десятичные дроби рассмотрены были выше, и мы видели, что они представляют собой рациональные числа. Обратимся теперь к бесконечным периодическим десятичным дробям. Покажем сначала,
что некоторая конкретная бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число. После разбора частного случая тот же метод будет
прменен к произвольной периодической десятичной дроби.
Рассмотрим бесконечную периодическую десятичную дробь:

x = 28,123(456),
или, в иной записи,
x = 28,123456456... .

Умножим ее сначала на одно число, затем --- на другое; числа, на которые мы умножаем дробь, выбираются таким образом, чтобы при вычитании одного произведения из другого бесконечная периодическая часть сократилась бы. В нашем примере в качестве таких множителей можно взять числа 10^6 и 10^3,
поскольку
10^6 x = 28123456,(456),
и
10^3x = 28123,(456),
так что разность
10^6 x - 10^3x равна
999000x =28095333.
Следовательно,
x =28095333/999000,
и, стало быть, x --- число рациональное.
Обобщая использованный метод, мы покажем, что множители 10^6 и 10^3 не были
"взяты с потолка", а были выбраны согласно определенному правилу. --- конец цитирования .
(в тексте цитаты выделение жирным мое).

Мне хватило инфы в цитате, чтобы принять(заподозрить!) реализацию приведенной части доказательства по сути софизмом.

О том, как пришел к такому заключению: если одна и та же конкретная беск. период. десятичная дробь умножена на два различных целых числа с различным кол-вом нулей, то результаты двух раздельных умножений не могут выдать у обеих сразу одинаковое бесконечное кол-во повторов полных
п е р и о д о в после запятой. Следовательно, не может изчезнуть и бесконечный период при следующем вычитании двух произведений, то есть, разность произведений не является целым числом.

Итог 1 моего анализа: вольный или невольный подлог четко прослеживается в записях двух раздельных результатов умножений.
Итог 2 анализа: ни какое определенное правило не способно породить иную пару подходящих сомножителей на замену для спасения метода.
Итог 3: Перевод взятой к рассмотрению конкретной бесконечной периодической десятичной дроби к смешаному виду обыкновенной записи дробей должно быть и есть кратчайший, замечу, легчайший путь доказательства второй половины сформулированного предложения.

ПС. Придирка подмечена мною в 1980-х, не позднее. Жить 40 лет с тем, что ново с позиции опровержения чего-то устоявшегося, признанного,но ложного по сути (в чем нет сомнений), но не решиться обнародовать, означило бы признать, что жил, живешь зря, --- без мечты, без устремлений к познанию истины.
.

Очень неудобно, что на Вашем форуме (замечу угасающем форуме) введены
ограничения на объем разового поста. Будь по- иному --- оживил бы форум
до сотен тысячей посетителей в день! --- можете в сказаном сомневаться, а можете
просто принять на веру.

Мой ответ на суть придирки таков: откройте 58 стр. того самого источника,
прочтите 1-ый новый на ней абзац сверху со слов "Покажем теперь, что ..." ,
а дальше знамо что с этим делать.
Занавес!