Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильность решения мной такого интеграла:
int (arctg(sqrt(x)))dx
Сначала делаю замену: t=sqrt(x)
dt = 1/(2*sqrt(x)) dx
dx = 2*sqrt(x) dt = 2 t dt
Получаем:
int (arctg(sqrt(x)))dx = int(arctg(t)*2*t )dt = 2* int(t*arctg(t))dt
Далее по частям:
u=t
du = dt
dv = arctg(t)dt
v = 1/(1+t^2)
Получаем:
2* int(t*arctg(t))dt = 2*(t/(1+t^2) - int (1/(1+t^2))dt)
Интеграл табличный, получаем:
2*t/(1+t^2) - 2*arctg (t) + C
Делаем обратную подстановку:
2*sqrt(x)/(1+x) - 2*arctg (sqrt(x)) + C

Правильно-ли решен интеграл? И если нет, то укажите, пожалуйста, где ошибка. Спасибо.
Мне смущают всякие автоматические системы, которые выдают другое решение, которое у меня не получается привести к моему.

Сейчас попробовал найти производную от своего ответа - не сходится с подинтегральным выражением, значит мой ответ неверен.
А вот если во время интегрирования по частям взять за u и dv другие части, т.е. u=arctg(t), dv = tdt
То ответ получается такой же как у автоматических систем и, соответственно, дифференцируемый к исходному подинтегральному выражению.
Тогда вопрос такой - почему нельзя интегрировать по частям так, как это сделал я? Спасибо.

Нет!

наоборот надо брать
u=arctg(t)
dv=tdt

Потому что, чтобы из dv получить v, надо проинтегрировать арктангенс, а вы нашли от него производную.

Понял. Спасибо.

(IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif)