Интеграл от 2 до бесконечности ((X+lnX)/(e^(корень(X^2-4))-1))
Пробовала на сумму интегралов X/(e^(корень(X^2-4))-1) и lnX/(e^(корень(X^2-4))-1)
но не помогло
Что-то у меня плохо с интегрированием стало...

Интеграл-то непростой. Можно разбить на сумму двух интегралов - от 2 до 3 и от 3 до бесконечности и доказывать сходимость каждого методом сравнения в обычной и предельной форме.
В первом можно сначала сделать замену переменной x=t+2, тогда интеграл по t будет от 0 до 1. Особенность в 0 - сравнивать с 1/sqrt(t). На бесконечности числитель сверху оценить выражением 2х, а полученный интеграл сравнить в предельной форме с x*e^(-x).
Подробнее объяснять не буду.
Разбирайтесь.

Итак подробней некуда, спасибо.
Попробую.

Проверьте, пожалуйста.
Я рассмотрела интеграл от 2 до 3 с замено на t+2.
Сравнила с t в 1/2 .
при t стремящемся к 0 получила предел отношений функций равный (2+ln2)/2, это >0 следовательно от сходимости или расходимости интеграл 1/sqrt(t) зависит и исходная функция. А т.к. степень t меньше 1, следовательно интеграл 1/ sqrt(t) расходится. Следовательно и интеграл исходный (по X) с пределами (2 до 3) тоже расходится.
Как я понимаю интеграл от 3 до бесконечности проверять нет мысла, т.к. если хотя бы один из суммы интегралов расходится, то и сумма интегралов тоже расходится. Правильно?

Было сказано сравнивать с t в (-1/2).
А такой интеграл в нуле СХОДИТСЯ.

Предел отношений равен 1.
Значит при рассмотриваю интеграл 1/(t^(1/2)). Я правильно поняла? Но ведь при степени меньше единицы он должен расходится. Или я опять что-то напутала?

Я тормоз. Действительно сходится)))

А во втором интеграле я сравниваю исходную функцию с 2*X/(e^(корень(X^2-4))-1))? Я правильно поняла? У меня получилось в пределе 1/2.
Следовательно исследую функцию 2*X/(e^(корень(X^2-4))-1))
Но при замене X^2-4 на t я получила 1/(e^sqrt(t)-1). А вот его не могу проинтегрировать...

Не поняла, что значит оценить числитель выражением 2x

Из легко проверяемого неравенства

lnx<x для х>1

получаем,

((X+lnX)/(e^(корень(X^2-4))-1)) < 2х/(e^(корень(X^2-4))-1)),

поэтому если сходится интеграл с подынтегральной функцией в правой части этого неравенства (именно это и будете доказывать методом сравнения), то будет сходиться и нужный нам интеграл.

Я тормоз. Спасибо. Кажется все получилось. Практики маловато, но это поправимо.