Столкнулся с такой задачей (на рисунке). Даже не знаю, что с ней делать...
По Даламберу пробовал - получается 1, а сравнить с другим рядом - не знаю с каким...
Понятно, что в точках вида x= 0, ln2, ln3, ln4,... некоторые члены ряда определены не будут и тогда говорить о сходимости бессмысленно, а вот в других точках неясно.
По модулю его можно представить в виде сумма 1/|n^2- e^x (n+1/n) +1|, но будет ли n^2 обеспечивать сходимость? Наверное, тут всё просто должно быть, но никак не пойму....
Помогите, пожалуйста.

По-моему, он сходится абсолютно на всей числовой прямой (кроме очевидных исключений).
Рассмотреть остаток этого ряда (чтобы знаменатели стали положительны), составить для него ряд из модулей и сравнить его (в предельной форме) с рядом 1/n^2.
Вроде так.

venja, пойдет ли такое решение?

В общем, нормально. Но я бы сказал еще следущее.

1. Лучше (для меньшей громоздкости) сразу заменить e^x на у, выяснить все про у, а потом в ответе опять перейти к х. Сразу ясно, что у не равно 1,2, ...
2. В ряде сравнения индекс суммирования х заменить на n.
3. В пределе (который окажется =1) заменить x->00 на n->00.
Этот предел существует для любого (фиксированного) значения у и не надо оговаривать существование предела. А значения у=1,2,...
были исключены ранее из других соображений.
Вроде так.

мне не совсем понятны пункты
2. В ряде сравнения индекс суммирования х заменить на n. (индекс суммирования везде вроде n)
3. В пределе (который окажется =1) заменить x->00 на n->00. (там вроде тоже n->00 и предел рассматривается при любом x)

Переделал немного

Все верно. В прикрепленном рисунке индекс суммирования n (и в пределе тоже) такой маленький, что мне он при рассмотрении казался буквой х.

Только фраза:"Этот предел существует при любом у не равно n ..."
кажется мне неточной.
На самом деле этот предел существует при ЛЮБОМ у (и при у=1,2,.. тоже) и =1. Но, как я уже писал, "значения у=1,2,...
были исключены ранее из других соображений".

Спасибо огромное! Учту этот момент...
Возникла еще одна проблема...
Нашел похожие задачи в решебнике.
http://www.reshebnik.ru/solutions/6/4/
Опять же не пойму, с чем его сравнить

Общий член ряда удобнее всего записать в виде
ln[1-(n+1)/(n^2+n+2)]

Теперь видно, что все члены ряда - отрицательны. Но это не важно - важно, что ряд ЗНАКОПОСТОЯННЫЙ, а потому применимы все признаки сравнения.
Видно, что надо сравнивать (в предельной форме) с рядом, общий член которого

-(n+1)/(n^2+n+2)
Этот ряд (легко показать) расходится, а потому разойдется и исходный ряд.

Еще раз спасибо Вам огромное (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вам - всегда рад помочь.