Исследовать на экстремум функцию z=f(x,y) и найти градиент поля описываемого функцией z в точке M0 (x0;yo) и производную по направлению в точке(x0;yo) . Найти модуль вектора и сравнить его со значением производной по направлению.
И точка дана М0(-2,5; 3)
z=(1/9)((-3x+2y)^3)+(3/2)(x^2)+(y^2)-(2xy)-5y
нахожу экстремум
z(x)=-((2y-3x)^2)+3x-2y
z(y)=(2/3)((2y-3x)^2)+2y-2x-5
-((2y-3x)^2)+3x-2y=0
-(2y-3x)(2y-3x-1)=0
2y=3x 2y-3x-1=0
y=3x/2 2y-3x=1
2*(3x/2)-3x=1
И все дальше не получается
Теперь градиент
grad=(-(2y-3x)^2)+3x-2y)i+((2/3)*((2y-3x)^2)+2y-2x-5)j=6i+(-8(1/3))J
модуль grad=корень((6^2)+(8(1/3))=прибл.10
cos a=6/10=0,6 cos b=(-8(1/3))/10=прибл.-0,8
dz/d grad M0=(6*0,6)+(-8,3*0,83)=10 совпад с модулем градиента.
А что делать с точкой которая дана?
Помогите пожалуйста, я ничего не пойму

Не совсем поняла, как такое получили

А что не получается?

Найти значения всех величин в этой точке.

это выражение равняется нулю если хотя бы одно выражение в скобках будет ровняться 0. Я и прировняла
А что не получается?
Там получается 0=1, такого не может быть

Найти значения всех величин в этой точке.

а как это делается? Куда значения этой точки вставлять?

Можете конкретнее показать. Я, правда, немного иначе ее делала, но вроде решабельно.

Вы нашли частные производные, по ним градиен т.д. Вместо х подставляете абсциссу точки, вместо у - ее ординату.

z(x)=-((2y-3x)^2)+3x-2y
z(y)=(2/3)((2y-3x)^2)+2y-2x-5
-((2y-3x)^2)+3x-2y=0
дальше я заново перерешала, вот что получилось
2у-3х=0 (2у-3х)=1
2у=3х 3х=1-2у
у=3х/2 х=(1-2у)/3
у=(3*0,2)/2 х=(1-3х)/3= приблиз.0,2
у=0,3




Подставлять в изначальное уравнение или которые по производным?

Вы второе уравнение не используете?

В выражение для градиента.

(2/3)((2у-3у)^2)+2y-2x-5=0|*3
((2у-3х)^2)+6y-6x=7,5
а как дальше лучше сделать?



(-((2*3-3*2,5)^2)+3*2,5-2*3)i+((2/3)(2*3-3*2,5)^2)+2*3-2*2,5-5=-0,75i-1,16j
|grad z|=корень((-0,75)^2)+((-1,16)^2))=приблиз.1,4
cos a=-0,75/1,4=-0,5 cos b=-1,16/1,4=-0,8
что дальше делать? Я перечитала теорию и не пойму что дальше нужно умножать на косинусы, там как тол подругому

подскажите, пожалуйста, что дальше делать?

Показывайте решение в отсканированном/набраном/сфотографированном виде, нечитабельно